Leysa 1000x^2+2x+69=0

$$1000 { x }^{ 2 } +2x+69=0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}\approx -0.001+0.262676607i$$

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}\approx -0.001-0.262676607i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1000 inn fyrir a, 2 inn fyrir b og 69 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Hefðu 2 í annað veldi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 1000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4000\times 69}}{2\times 1000}$$

Margfaldaðu -4000 sinnum 69.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-276000}}{2\times 1000}$$

Leggðu 4 saman við -276000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-275996}}{2\times 1000}$$

Finndu kvaðratrót -275996.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2\times 1000}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1000.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} þegar ± er plús. Leggðu -2 saman við 2i\sqrt{68999}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Deildu -2+2i\sqrt{68999} með 2000.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} þegar ± er mínus. Dragðu 2i\sqrt{68999} frá -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{68999}i-2}{2000}$$

Deildu -2-2i\sqrt{68999} með 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Dragðu 69 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$1000x^{2}+2x+69-69=-69$$

Ef 69 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$1000x^{2}+2x=-69$$

Deildu báðum hliðum með 1000.

$$\frac{1000x^{2}+2x}{1000}=-\frac{69}{1000}$$

Að deila með 1000 afturkallar margföldun með 1000.

$$x^{2}+\frac{2}{1000}x=-\frac{69}{1000}$$

Minnka brotið \frac{2}{1000} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x=-\frac{69}{1000}$$

Deildu \frac{1}{500}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{1}{1000}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{1}{1000} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{69}{1000}+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{1}{1000} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{69}{1000}+\frac{1}{1000000}$$

Leggðu -\frac{69}{1000} saman við \frac{1}{1000000} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{68999}{1000000}$$

Stuðull x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{68999}{1000000}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{68999}{1000000}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{1}{1000}=\frac{\sqrt{68999}i}{1000} x+\frac{1}{1000}=-\frac{\sqrt{68999}i}{1000}$$

Dragðu \frac{1}{1000} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$