Leysa 10x^2-31x+24=0

$$10 x ^ { 2 } - 31 x + 24 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 10x^{2}+ax+bx+24. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-31 ab=10\times 24=240$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er mínus eru a og b bæði mínus. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 240.

$$-1,-240 -2,-120 -3,-80 -4,-60 -5,-48 -6,-40 -8,-30 -10,-24 -12,-20 -15,-16$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1-240=-241 -2-120=-122 -3-80=-83 -4-60=-64 -5-48=-53 -6-40=-46 -8-30=-38 -10-24=-34 -12-20=-32 -15-16=-31$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -31.

$$a=-16 b=-15$$

Endurskrifa 10x^{2}-31x+24 sem \left(10x^{2}-16x\right)+\left(-15x+24\right).

$$\left(10x^{2}-16x\right)+\left(-15x+24\right)$$

Taktu 2x út fyrir sviga í fyrsta hópi og -3 í öðrum hópi.

$$2x\left(5x-8\right)-3\left(5x-8\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 5x-8 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(5x-8\right)\left(2x-3\right)$$

Leystu 5x-8=0 og 2x-3=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{3}{2}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$10x^{2}-31x+24=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 10 inn fyrir a, -31 inn fyrir b og 24 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 10\times 24}}{2\times 10}$$

Hefðu -31 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 10\times 24}}{2\times 10}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 10.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-40\times 24}}{2\times 10}$$

Margfaldaðu -40 sinnum 24.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-960}}{2\times 10}$$

Leggðu 961 saman við -960.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Finndu kvaðratrót 1.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±1}{2\times 10}$$

Gagnstæð tala tölunnar -31 er 31.

$$x=\frac{31±1}{2\times 10}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 10.

$$x=\frac{31±1}{20}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{31±1}{20} þegar ± er plús. Leggðu 31 saman við 1.

$$x=\frac{32}{20}$$

Minnka brotið \frac{32}{20} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=\frac{8}{5}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{31±1}{20} þegar ± er mínus. Dragðu 1 frá 31.

$$x=\frac{30}{20}$$

Minnka brotið \frac{30}{20} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{3}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-31x+24=0$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x^{2}-31x+24-24=-24$$

Ef 24 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$10x^{2}-31x=-24$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$\frac{10x^{2}-31x}{10}=-\frac{24}{10}$$

Að deila með 10 afturkallar margföldun með 10.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{24}{10}$$

Minnka brotið \frac{-24}{10} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x=-\frac{12}{5}$$

Deildu -\frac{31}{10}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{31}{20}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{31}{20} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}=-\frac{12}{5}+\left(-\frac{31}{20}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{31}{20} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=-\frac{12}{5}+\frac{961}{400}$$

Leggðu -\frac{12}{5} saman við \frac{961}{400} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}=\frac{1}{400}$$

Stuðull x^{2}-\frac{31}{10}x+\frac{961}{400}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}=\frac{1}{400}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{400}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{31}{20}=\frac{1}{20} x-\frac{31}{20}=-\frac{1}{20}$$

Leggðu \frac{31}{20} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{8}{5} x=\frac{3}{2}$$