Leysa 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Leystu fyrir k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 10k^{2}+ak+bk-1. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -10.

$$-1,10 -2,5$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 9.

$$a=-1 b=10$$

Endurskrifa 10k^{2}+9k-1 sem \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Taktuk út fyrir sviga í 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Taktu sameiginlega liðinn 10k-1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Leystu 10k-1=0 og k+1=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 10 inn fyrir a, 9 inn fyrir b og -1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Hefðu 9 í annað veldi.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Margfaldaðu -40 sinnum -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Leggðu 81 saman við 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Finndu kvaðratrót 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Leystu nú jöfnuna k=\frac{-9±11}{20} þegar ± er plús. Leggðu -9 saman við 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Minnka brotið \frac{2}{20} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Leystu nú jöfnuna k=\frac{-9±11}{20} þegar ± er mínus. Dragðu 11 frá -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Deildu -20 með 20.

$$k=-1$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ef -1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Dragðu -1 frá 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Að deila með 10 afturkallar margföldun með 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Deildu \frac{9}{10}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{9}{20}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{9}{20} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{9}{20} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Leggðu \frac{1}{10} saman við \frac{81}{400} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Stuðull k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Einfaldaðu.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Dragðu \frac{9}{20} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$