Leysa -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -4 inn fyrir a, 20 inn fyrir b og -47 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Hefðu 20 í annað veldi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Margfaldaðu 16 sinnum -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Leggðu 400 saman við -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Finndu kvaðratrót -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} þegar ± er plús. Leggðu -20 saman við 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Deildu -20+4i\sqrt{22} með -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} þegar ± er mínus. Dragðu 4i\sqrt{22} frá -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Deildu -20-4i\sqrt{22} með -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Leggðu 47 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Ef -47 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Dragðu -47 frá 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Að deila með -4 afturkallar margföldun með -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Deildu 20 með -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Deildu 47 með -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Deildu -5, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{5}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{5}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{5}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Leggðu -\frac{47}{4} saman við \frac{25}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Stuðull x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$