Leysa -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9.722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4.388670163$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -3 inn fyrir a, 16 inn fyrir b og 128 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Hefðu 16 í annað veldi.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Margfaldaðu 12 sinnum 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Leggðu 256 saman við 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Finndu kvaðratrót 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} þegar ± er plús. Leggðu -16 saman við 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Deildu -16+16\sqrt{7} með -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} þegar ± er mínus. Dragðu 16\sqrt{7} frá -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Deildu -16-16\sqrt{7} með -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Dragðu 128 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Ef 128 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Að deila með -3 afturkallar margföldun með -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Deildu 16 með -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Deildu -128 með -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Deildu -\frac{16}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{8}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{8}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{8}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Leggðu \frac{128}{3} saman við \frac{64}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Stuðull x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$