Leysa -10x^2+1000x-21000

$$-10 { x }^{ 2 } +1000x-21000$$

Stuðull

$$10\left(30-x\right)\left(x-70\right)$$

Lausnarskref

Taktu 10 út fyrir sviga.

$$10\left(-x^{2}+100x-2100\right)$$

Íhugaðu -x^{2}+100x-2100. Þáttaðu segðina með því að flokka. Fyrst þarf að endurskrifa segðina sem -x^{2}+ax+bx-2100. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=100 ab=-\left(-2100\right)=2100$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er plús eru a og b bæði plús. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 2100.

$$1,2100 2,1050 3,700 4,525 5,420 6,350 7,300 10,210 12,175 14,150 15,140 20,105 21,100 25,84 28,75 30,70 35,60 42,50$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1+2100=2101 2+1050=1052 3+700=703 4+525=529 5+420=425 6+350=356 7+300=307 10+210=220 12+175=187 14+150=164 15+140=155 20+105=125 21+100=121 25+84=109 28+75=103 30+70=100 35+60=95 42+50=92$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 100.

$$a=70 b=30$$

Endurskrifa -x^{2}+100x-2100 sem \left(-x^{2}+70x\right)+\left(30x-2100\right).

$$\left(-x^{2}+70x\right)+\left(30x-2100\right)$$

Taktu -x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 30 í öðrum hópi.

$$-x\left(x-70\right)+30\left(x-70\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-70 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-70\right)\left(-x+30\right)$$

Endurskrifaðu alla þáttuðu segðina.

$$10\left(x-70\right)\left(-x+30\right)$$

Skref með annars stigs formúlu

Þætta má margliðu með færslunni ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), þar sem x_{1} og x_{2} eru rætur annars stigs jöfnunnar ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+1000x-21000=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000^{2}-4\left(-10\right)\left(-21000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Hefðu 1000 í annað veldi.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-4\left(-10\right)\left(-21000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -10.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000+40\left(-21000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Margfaldaðu 40 sinnum -21000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-840000}}{2\left(-10\right)}$$

Leggðu 1000000 saman við -840000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{160000}}{2\left(-10\right)}$$

Finndu kvaðratrót 160000.

$$x=\frac{-1000±400}{2\left(-10\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -10.

$$x=\frac{-1000±400}{-20}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-1000±400}{-20} þegar ± er plús. Leggðu -1000 saman við 400.

$$x=-\frac{600}{-20}$$

Deildu -600 með -20.

$$x=30$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-1000±400}{-20} þegar ± er mínus. Dragðu 400 frá -1000.

$$x=-\frac{1400}{-20}$$

Deildu -1400 með -20.

$$x=70$$

Þættu upprunalegu segðina með ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Skiptu 30 út fyrir x_{1} og 70 út fyrir x_{2}.

$$-10x^{2}+1000x-21000=-10\left(x-30\right)\left(x-70\right)$$

Meta

$$10\left(30-x\right)\left(x-70\right)$$