Leysa -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Leystu fyrir b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5.311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0.188262309$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -4 inn fyrir a, 22 inn fyrir b og -4 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Hefðu 22 í annað veldi.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Margfaldaðu 16 sinnum -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Leggðu 484 saman við -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Finndu kvaðratrót 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Leystu nú jöfnuna b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} þegar ± er plús. Leggðu -22 saman við 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Deildu -22+2\sqrt{105} með -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Leystu nú jöfnuna b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{105} frá -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Deildu -22-2\sqrt{105} með -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Ef -4 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Dragðu -4 frá 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Að deila með -4 afturkallar margföldun með -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Minnka brotið \frac{22}{-4} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Deildu 4 með -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Deildu -\frac{11}{2}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{11}{4}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{11}{4} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{11}{4} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Leggðu -1 saman við \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Stuðull b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Einfaldaðu.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Leggðu \frac{11}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$