Leysa -3t^2+40t+128=0

$$- 3 t ^ { 2 } + 40 t + 128 = 0$$

Leystu fyrir t

$$t=16$$

$$t = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem -3t^{2}+at+bt+128. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=40 ab=-3\times 128=-384$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -384.

$$-1,384 -2,192 -3,128 -4,96 -6,64 -8,48 -12,32 -16,24$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+384=383 -2+192=190 -3+128=125 -4+96=92 -6+64=58 -8+48=40 -12+32=20 -16+24=8$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 40.

$$a=48 b=-8$$

Endurskrifa -3t^{2}+40t+128 sem \left(-3t^{2}+48t\right)+\left(-8t+128\right).

$$\left(-3t^{2}+48t\right)+\left(-8t+128\right)$$

Taktu 3t út fyrir sviga í fyrsta hópi og 8 í öðrum hópi.

$$3t\left(-t+16\right)+8\left(-t+16\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn -t+16 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(-t+16\right)\left(3t+8\right)$$

Leystu -t+16=0 og 3t+8=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$t=16 t=-\frac{8}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-3t^{2}+40t+128=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -3 inn fyrir a, 40 inn fyrir b og 128 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Hefðu 40 í annað veldi.

$$t=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -3.

$$t=\frac{-40±\sqrt{1600+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Margfaldaðu 12 sinnum 128.

$$t=\frac{-40±\sqrt{1600+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Leggðu 1600 saman við 1536.

$$t=\frac{-40±\sqrt{3136}}{2\left(-3\right)}$$

Finndu kvaðratrót 3136.

$$t=\frac{-40±56}{2\left(-3\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3.

$$t=\frac{-40±56}{-6}$$

Leystu nú jöfnuna t=\frac{-40±56}{-6} þegar ± er plús. Leggðu -40 saman við 56.

$$t=\frac{16}{-6}$$

Minnka brotið \frac{16}{-6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$t=-\frac{8}{3}$$

Leystu nú jöfnuna t=\frac{-40±56}{-6} þegar ± er mínus. Dragðu 56 frá -40.

$$t=-\frac{96}{-6}$$

Deildu -96 með -6.

$$t=16$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$t=-\frac{8}{3} t=16$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-3t^{2}+40t+128=0$$

Dragðu 128 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3t^{2}+40t+128-128=-128$$

Ef 128 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$-3t^{2}+40t=-128$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$\frac{-3t^{2}+40t}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Að deila með -3 afturkallar margföldun með -3.

$$t^{2}+\frac{40}{-3}t=-\frac{128}{-3}$$

Deildu 40 með -3.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t=-\frac{128}{-3}$$

Deildu -128 með -3.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t=\frac{128}{3}$$

Deildu -\frac{40}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{20}{3}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{20}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{20}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t+\frac{400}{9}=\frac{128}{3}+\frac{400}{9}$$

Leggðu \frac{128}{3} saman við \frac{400}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$t^{2}-\frac{40}{3}t+\frac{400}{9}=\frac{784}{9}$$

Stuðull t^{2}-\frac{40}{3}t+\frac{400}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{784}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(t-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{784}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$t-\frac{20}{3}=\frac{28}{3} t-\frac{20}{3}=-\frac{28}{3}$$

Leggðu \frac{20}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$t=16 t=-\frac{8}{3}$$