Leysa (3+7x-5/x^2-x-2-3x/x+1):4/x-2+5/x+3=frac{9x^2+43x+8}{4(x^2+4x+3)}

$$( 3 + \frac { 7 x - 5 } { x ^ { 2 } - x - 2 } - \frac { 3 x } { x + 1 } ) : \frac { 4 } { x - 2 } + \frac { 5 } { x + 3 } = \frac { 9 x ^ { 2 } + 43 x + 8 } { 4 ( x ^ { 2 } + 4 x + 3 ) }$$

Leystu fyrir x

$$x=7$$

Lausnarskref

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -3,-1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4\left(x+1\right)\left(x+3\right), minnsta sameiginlega margfeldi x+3,4\left(x^{2}+4x+3\right).

$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x+1 með x+3 og sameina svipuð hugtök.

$$\left(x^{2}+4x+3\right)\left(x-2\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x^{2}+4x+3 með x-2 og sameina svipuð hugtök.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{x^{2}-x-2}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Stuðull x^{2}-x-2.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(3+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Til að leggja saman eða draga saman segðir skaltu stækka þær til að nefnararnir verði eins. Margfaldaðu 3 sinnum \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Þar sem \frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} og \frac{7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} eru með sama nefnara skaltu leggja saman með því að leggja saman teljarana.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Margfaldaðu í 3\left(x-2\right)\left(x+1\right)+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+3x-6x-6+7x-5}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Sameinaðu svipaða liði í 3x^{2}+3x-6x-6+7x-5.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x}{x+1}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Til að leggja saman eða draga saman segðir skaltu stækka þær til að nefnararnir verði eins. Minnsta sameiginlega margfeldi \left(x-2\right)\left(x+1\right) og x+1 er \left(x-2\right)\left(x+1\right). Margfaldaðu \frac{3x}{x+1} sinnum \frac{x-2}{x-2}.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(\frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\right)+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Þar sem \frac{3x^{2}+4x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} og \frac{3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} eru með sama nefnara skaltu draga frá með því að nota frádrátt á teljarana.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Margfaldaðu í 3x^{2}+4x-11-3x\left(x-2\right).

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Sameinaðu svipaða liði í 3x^{2}+4x-11-3x^{2}+6x.

$$\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Sýndu \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\times \frac{10x-11}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} sem eitt brot.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\left(4x+4\right)\times 5=9x^{2}+43x+8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4x+4 með 5.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+20x+20=9x^{2}+43x+8$$

Til að leggja saman eða draga saman segðir skaltu stækka þær til að nefnararnir verði eins. Margfaldaðu 20x+20 sinnum \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Þar sem \frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} og \frac{\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} eru með sama nefnara skaltu leggja saman með því að leggja saman teljarana.

$$\frac{\left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Margfaldaðu í \left(x^{3}+2x^{2}-5x-6\right)\left(10x-11\right)+\left(20x+20\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Sameinaðu svipaða liði í 10x^{4}-11x^{3}+20x^{3}-22x^{2}-50x^{2}+55x-60x+66+20x^{3}-20x^{2}-40x+20x^{2}-20x-40.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=9x^{2}+43x+8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x-2 með x+1 og sameina svipuð hugtök.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}=9x^{2}+43x+8$$

Dragðu 9x^{2} frá báðum hliðum.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-9x^{2}=43x+8$$

Stuðull x^{2}-x-2.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-9x^{2}=43x+8$$

Til að leggja saman eða draga saman segðir skaltu stækka þær til að nefnararnir verði eins. Margfaldaðu -9x^{2} sinnum \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Þar sem \frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} og \frac{-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} eru með sama nefnara skaltu leggja saman með því að leggja saman teljarana.

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Margfaldaðu í 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{2}\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Sameinaðu svipaða liði í 10x^{4}+29x^{3}-72x^{2}-65x+26-9x^{4}-9x^{3}+18x^{3}+18x^{2}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=43x+8$$

Dragðu 43x frá báðum hliðum.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x-2 með x+1 og sameina svipuð hugtök.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{x^{2}-x-2}-43x=8$$

Stuðull x^{2}-x-2.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-43x=8$$

Til að leggja saman eða draga saman segðir skaltu stækka þær til að nefnararnir verði eins. Margfaldaðu -43x sinnum \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}+\frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Þar sem \frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} og \frac{-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} eru með sama nefnara skaltu leggja saman með því að leggja saman teljarana.

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Margfaldaðu í x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Sameinaðu svipaða liði í x^{4}+38x^{3}-54x^{2}-65x+26-43x^{3}-43x^{2}+86x^{2}+86x.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=8$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda x-2 með x+1 og sameina svipuð hugtök.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{x^{2}-x-2}-8=0$$

Stuðull x^{2}-x-2.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-8=0$$

Til að leggja saman eða draga saman segðir skaltu stækka þær til að nefnararnir verði eins. Margfaldaðu 8 sinnum \frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Þar sem \frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} og \frac{8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)} eru með sama nefnara skaltu draga frá með því að nota frádrátt á teljarana.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Margfaldaðu í x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Sameinaðu svipaða liði í x^{4}-5x^{3}-11x^{2}+21x+26-8x^{2}-8x+16x+16.

$$\frac{x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$$

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -1,2, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með \left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 42 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{4}-5x^{3}-19x^{2}+29x+42 með x+1 til að fá x^{3}-6x^{2}-13x+42. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{3}-6x^{2}-13x+42=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 42 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=2$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{3}-6x^{2}-13x+42 með x-2 til að fá x^{2}-4x-21. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 1 fyrir a, -4 fyrir b og -21 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Leystu jöfnuna x^{2}-4x-21=0 þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=-3 x=7$$

Fjarlægðu gildin sem breytan getur ekki verið jöfn.

$$x=7$$

Birta allar fundnar lausnir.

$$x=-1 x=2 x=-3 x=7$$

Breytan x getur ekki verið jöfn neinum af gildunum í -1,2,-3.

$$x=7$$