Leysa (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Stuðull

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Lausnarskref

Endurraðaðu margliðunni til að setja hana í staðlað form. Raðaðu liðunum frá hæsta til lægsta veldis.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Þáttaðu segðina með því að flokka. Fyrst þarf að endurskrifa segðina sem -10x^{2}+ax+bx+22. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 51.

$$a=55 b=-4$$

Endurskrifa -10x^{2}+51x+22 sem \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Taktu -5x út fyrir sviga í fyrsta hópi og -2 í öðrum hópi.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 2x-11 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Skref með annars stigs formúlu

Þætta má margliðu með færslunni ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), þar sem x_{1} og x_{2} eru rætur annars stigs jöfnunnar ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Hefðu 51 í annað veldi.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Margfaldaðu 40 sinnum 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Leggðu 2601 saman við 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Finndu kvaðratrót 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-51±59}{-20} þegar ± er plús. Leggðu -51 saman við 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Minnka brotið \frac{8}{-20} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-51±59}{-20} þegar ± er mínus. Dragðu 59 frá -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Minnka brotið \frac{-110}{-20} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Þættu upprunalegu segðina með ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Skiptu -\frac{2}{5} út fyrir x_{1} og \frac{11}{2} út fyrir x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Einfaldaðu allar segðir formsins p-\left(-q\right) í p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Leggðu \frac{2}{5} saman við x með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Dragðu \frac{11}{2} frá x með því að finna samnefnara og draga teljarana frá. Minnkaðu svo brotið eins mikið og hægt er.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Margfaldaðu \frac{-5x-2}{-5} sinnum \frac{-2x+11}{-2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Margfaldaðu -5 sinnum -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Styttu út stærsta sameiginlega þáttinn 10 í -10 og 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Meta

$$22+51x-10x^{2}$$