Leysa (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

Lausnarskref

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Til að finna andstæðu 9x^{2}-12x+4 skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Sameinaðu -9x^{2} og -40x^{2} til að fá -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Bættu 205 við báðar hliðar.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Leggðu saman -4 og 205 til að fá 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -5x með 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda -35x+15x^{2} með 7+3x og sameina svipuð hugtök.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Sameinaðu 16x og -245x til að fá -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Sameinaðu 4x^{2} og -49x^{2} til að fá -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Sameinaðu -229x og 12x til að fá -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Leggðu saman 16 og 201 til að fá 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Endurraðaðu jöfnunni til að setja hana aftur í staðlað form. Raðaðu liðum frá hæsta veldi niður í lægsta.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 217 og q deilir forystustuðlinum 45. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 með x-1 til að fá 45x^{2}-217. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 45 fyrir a, 0 fyrir b og -217 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Leystu jöfnuna 45x^{2}-217=0 þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Birta allar fundnar lausnir.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$