Leysa y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Leystu fyrir y

$$y=6$$

$$y=9$$

Skref sem nota þáttun

Bættu 54 við báðar hliðar.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Leystu jöfnuna með því að þátta y^{2}-15y+54 með formúlunni y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-15 ab=54$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er mínus eru a og b bæði mínus. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -15.

$$a=-9 b=-6$$

Endurskrifaðu þáttuðu segðina \left(y+a\right)\left(y+b\right) með því að nota fengin gildi.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Leystu y-9=0 og y-6=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$y=9 y=6$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Bættu 54 við báðar hliðar.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem y^{2}+ay+by+54. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er mínus eru a og b bæði mínus. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -15.

$$a=-9 b=-6$$

Endurskrifa y^{2}-15y+54 sem \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Taktu y út fyrir sviga í fyrsta hópi og -6 í öðrum hópi.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn y-9 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Leystu y-9=0 og y-6=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$y=9 y=6$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$y^{2}-15y=-54$$

Leggðu 54 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Ef -54 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Dragðu -54 frá 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1 inn fyrir a, -15 inn fyrir b og 54 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Hefðu -15 í annað veldi.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Leggðu 225 saman við -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Finndu kvaðratrót 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -15 er 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{15±3}{2} þegar ± er plús. Leggðu 15 saman við 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Deildu 18 með 2.

$$y=9$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{15±3}{2} þegar ± er mínus. Dragðu 3 frá 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Deildu 12 með 2.

$$y=6$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$y=9 y=6$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Deildu -15, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{15}{2}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{15}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{15}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Leggðu -54 saman við \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Stuðull y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Einfaldaðu.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Leggðu \frac{15}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=9 y=6$$