Leysa x^6+1=x^4+x^2

$${ x }^{ 6 } +1= { x }^{ 4 } + { x }^{ 2 }$$

Leystu fyrir x

$$x=-1$$

$$x=1$$

Lausnarskref

Dragðu x^{4} frá báðum hliðum.

$$x^{6}+1-x^{4}=x^{2}$$

Dragðu x^{2} frá báðum hliðum.

$$x^{6}+1-x^{4}-x^{2}=0$$

Endurraðaðu jöfnunni til að setja hana aftur í staðlað form. Raðaðu liðum frá hæsta veldi niður í lægsta.

$$x^{6}-x^{4}-x^{2}+1=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 1 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{6}-x^{4}-x^{2}+1 með x-1 til að fá x^{5}+x^{4}-x-1. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{5}+x^{4}-x-1=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -1 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{5}+x^{4}-x-1 með x-1 til að fá x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 1 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1 með x+1 til að fá x^{3}+x^{2}+x+1. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{3}+x^{2}+x+1=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 1 og q deilir forystustuðlinum 1. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-1$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu x^{3}+x^{2}+x+1 með x+1 til að fá x^{2}+1. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$x^{2}+1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 1 fyrir a, 0 fyrir b og 1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Þar sem kvaðratrót neikvæðar tölu er ekki skilgreind í reit rauntölu eru engar lausnir.

$$x\in \emptyset$$

Birta allar fundnar lausnir.

$$x=1 x=-1$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=i$$

$$x=-i$$

$$x=-1$$

$$x=1$$