Leysa x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Leystu fyrir x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Skref með annars stigs formúlu

Þáttaðu vinstri hliðina til að leysa ójöfnuna. Þætta má margliðu með færslunni ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), þar sem x_{1} og x_{2} eru rætur annars stigs jöfnunnar ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 1 fyrir a, -3 fyrir b og 1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Leystu jöfnuna x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Endurskrifaðu ójöfnuna með því a nota niðurstöðuna.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Til að margfeldi verði jákvætt þarf önnur af x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} og x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} að vera neikvæð og hin jákvæð. Skoðaðu þegar x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} er jákvætt og x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} er neikvætt.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Þetta er ósatt fyrir x.

$$x\in \emptyset$$

Skoðaðu þegar x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} er jákvætt og x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} er neikvætt.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Lausnin sem uppfyllir báðar ójöfnur er x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Endanleg lausn er sammengi fenginna lausna.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$