Leysa {left(frac{1-sqrt{3}}{1+sqrt{3}}right)}^2+{left(frac{1+sqrt{3}}{1-sqrt{3}}right)}^2

$${ \left( \frac{ 1- \sqrt{ 3 } }{ 1+ \sqrt{ 3 } } \right) }^{ 2 } + { \left( \frac{ 1+ \sqrt{ 3 } }{ 1- \sqrt{ 3 } } \right) }^{ 2 }$$

Meta

$$14$$

Lausnarskref

Gerðu nefnara \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með 1-\sqrt{3}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Íhugaðu \left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Hefðu 1 í annað veldi. Hefðu \sqrt{3} í annað veldi.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{1-3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Dragðu 3 frá 1 til að fá út -2.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Margfaldaðu 1-\sqrt{3} og 1-\sqrt{3} til að fá út \left(1-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(1-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(\frac{1-2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

\sqrt{3} í öðru veldi er 3.

$$\left(\frac{1-2\sqrt{3}+3}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Leggðu saman 1 og 3 til að fá 4.

$$\left(\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Deildu í hvern lið í 4-2\sqrt{3} með -2 til að fá -2+\sqrt{3}.

$$\left(-2+\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(-2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

\sqrt{3} í öðru veldi er 3.

$$4-4\sqrt{3}+3+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Leggðu saman 4 og 3 til að fá 7.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\right)^{2}$$

Gerðu nefnara \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} að ræðri tölu með því að margfalda teljarann og nefnarann með 1+\sqrt{3}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}\right)^{2}$$

Íhugaðu \left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right). Hægt er að breyta margföldun í mismun annarra velda með reglunni: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\right)^{2}$$

Hefðu 1 í annað veldi. Hefðu \sqrt{3} í annað veldi.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{1-3}\right)^{2}$$

Dragðu 3 frá 1 til að fá út -2.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}{-2}\right)^{2}$$

Margfaldaðu 1+\sqrt{3} og 1+\sqrt{3} til að fá út \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-2}\right)^{2}$$

\sqrt{3} í öðru veldi er 3.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{1+2\sqrt{3}+3}{-2}\right)^{2}$$

Leggðu saman 1 og 3 til að fá 4.

$$7-4\sqrt{3}+\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}\right)^{2}$$

Deildu í hvern lið í 4+2\sqrt{3} með -2 til að fá -2-\sqrt{3}.

$$7-4\sqrt{3}+\left(-2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(-2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-4\sqrt{3}+4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3} í öðru veldi er 3.

$$7-4\sqrt{3}+4+4\sqrt{3}+3$$

Leggðu saman 4 og 3 til að fá 7.

$$7-4\sqrt{3}+7+4\sqrt{3}$$

Leggðu saman 7 og 7 til að fá 14.

$$14-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Sameinaðu -4\sqrt{3} og 4\sqrt{3} til að fá 0.

$$14$$

Stuðull

$$2\times 7$$