Leysa sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

Lausnarskref

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{x^{2}-1} í 2. veldi og fáðu x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{2x+1} í 2. veldi og fáðu 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Dragðu 1 frá -1 til að fá út -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1 inn fyrir a, -2 inn fyrir b og -2 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Hefðu -2 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Leggðu 4 saman við 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Finndu kvaðratrót 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} þegar ± er plús. Leggðu 2 saman við 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Deildu 2+2\sqrt{3} með 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{3} frá 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Deildu 2-2\sqrt{3} með 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Settu \sqrt{3}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\sqrt{3}+1 uppfyllir jöfnuna.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Settu 1-\sqrt{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Einfaldaðu. Gildið x=1-\sqrt{3} uppfyllir jöfnuna.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Skrá allar lausnir \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Leystu fyrir x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

Lausnarskref

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{x^{2}-1} í 2. veldi og fáðu x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{2x+1} í 2. veldi og fáðu 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Dragðu 1 frá -1 til að fá út -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1 inn fyrir a, -2 inn fyrir b og -2 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Hefðu -2 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Leggðu 4 saman við 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Finndu kvaðratrót 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} þegar ± er plús. Leggðu 2 saman við 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Deildu 2+2\sqrt{3} með 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} þegar ± er mínus. Dragðu 2\sqrt{3} frá 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Deildu 2-2\sqrt{3} með 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Settu \sqrt{3}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\sqrt{3}+1 uppfyllir jöfnuna.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Settu 1-\sqrt{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Stæðan \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} er óskilgreind vegna þess að rótarstofninn getur ekki verið neikvæður.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Jafnan \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} hefur einstaka lausn.

$$x=\sqrt{3}+1$$