Leysa sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Lausnarskref

Dragðu -\sqrt{15+x^{2}} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{25-x^{2}} í 2. veldi og fáðu 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{15+x^{2}} í 2. veldi og fáðu 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Leggðu saman 16 og 15 til að fá 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Dragðu 31+x^{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Til að finna andstæðu 31+x^{2} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Dragðu 31 frá 25 til að fá út -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Sameinaðu -x^{2} og -x^{2} til að fá -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til að stækka \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Margfaldaðu veldisvísa til að hefja veldi í annað veldi. Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Víkka \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu 8 í 2. veldi og fáðu 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{15+x^{2}} í 2. veldi og fáðu 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 64 með 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Dragðu 960 frá báðum hliðum.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Dragðu 960 frá 36 til að fá út -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Dragðu 64x^{2} frá báðum hliðum.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Sameinaðu 24x^{2} og -64x^{2} til að fá -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Skipta t út fyrir x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 4 fyrir a, -40 fyrir b og -924 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Reiknaðu.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Leystu jöfnuna t=\frac{40±128}{8} þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$t=21 t=-11$$

Þar sem x=t^{2} eru lausnir fundnar með því að meta x=±\sqrt{t} fyrir hvert t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Settu -\sqrt{21} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Einfaldaðu. Gildið x=-\sqrt{21} uppfyllir ekki jöfnuna vegna þess að vinstri og hægri hliðar hafa gagnstæð merki.

$$-4=4$$

Settu \sqrt{21} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Einfaldaðu. Gildið x=\sqrt{21} uppfyllir ekki jöfnuna vegna þess að vinstri og hægri hliðar hafa gagnstæð merki.

$$-4=4$$

Settu -\sqrt{11}i inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Einfaldaðu. Gildið x=-\sqrt{11}i uppfyllir jöfnuna.

$$4=4$$

Settu \sqrt{11}i inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Einfaldaðu. Gildið x=\sqrt{11}i uppfyllir jöfnuna.

$$4=4$$

Skrá allar lausnir \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$