Leysa sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Leystu fyrir x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Lausnarskref

Dragðu -\sqrt{19-x^{2}} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{15+x^{2}} í 2. veldi og fáðu 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{19-x^{2}} í 2. veldi og fáðu 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Leggðu saman 4 og 19 til að fá 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Dragðu 23-x^{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Til að finna andstæðu 23-x^{2} skaltu finna andstæðu hvers liðs.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Dragðu 23 frá 15 til að fá út -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Sameinaðu x^{2} og x^{2} til að fá 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Notaðu tvíliðusetninguna \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} til að stækka \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Margfaldaðu veldisvísa til að hefja veldi í annað veldi. Margfaldaðu 2 og 2 til að fá út 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Víkka \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu 4 í 2. veldi og fáðu 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{19-x^{2}} í 2. veldi og fáðu 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 16 með 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Dragðu 304 frá báðum hliðum.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Dragðu 304 frá 64 til að fá út -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Bættu 16x^{2} við báðar hliðar.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Sameinaðu -32x^{2} og 16x^{2} til að fá -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Skipta t út fyrir x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 4 fyrir a, -16 fyrir b og -240 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Reiknaðu.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Leystu jöfnuna t=\frac{16±64}{8} þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$t=10 t=-6$$

Þar sem x=t^{2} eru lausnir fundnar með því að meta x=±\sqrt{t} fyrir jákvæð t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Settu \sqrt{10} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Einfaldaðu. Gildið x=\sqrt{10} uppfyllir jöfnuna.

$$2=2$$

Settu -\sqrt{10} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Einfaldaðu. Gildið x=-\sqrt{10} uppfyllir jöfnuna.

$$2=2$$

Skrá allar lausnir \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$