Leysa quad15x^2+23x-28=0

$$\quad 15 x ^ { 2 } + 23 x - 28 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 15x^{2}+ax+bx-28. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=23 ab=15\left(-28\right)=-420$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -420.

$$-1,420 -2,210 -3,140 -4,105 -5,84 -6,70 -7,60 -10,42 -12,35 -14,30 -15,28 -20,21$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+420=419 -2+210=208 -3+140=137 -4+105=101 -5+84=79 -6+70=64 -7+60=53 -10+42=32 -12+35=23 -14+30=16 -15+28=13 -20+21=1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 23.

$$a=-12 b=35$$

Endurskrifa 15x^{2}+23x-28 sem \left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right).

$$\left(15x^{2}-12x\right)+\left(35x-28\right)$$

Taktu 3x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 7 í öðrum hópi.

$$3x\left(5x-4\right)+7\left(5x-4\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 5x-4 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(5x-4\right)\left(3x+7\right)$$

Leystu 5x-4=0 og 3x+7=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 15 inn fyrir a, 23 inn fyrir b og -28 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Hefðu 23 í annað veldi.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 15\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-60\left(-28\right)}}{2\times 15}$$

Margfaldaðu -60 sinnum -28.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+1680}}{2\times 15}$$

Leggðu 529 saman við 1680.

$$x=\frac{-23±\sqrt{2209}}{2\times 15}$$

Finndu kvaðratrót 2209.

$$x=\frac{-23±47}{2\times 15}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 15.

$$x=\frac{-23±47}{30}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-23±47}{30} þegar ± er plús. Leggðu -23 saman við 47.

$$x=\frac{24}{30}$$

Minnka brotið \frac{24}{30} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 6.

$$x=\frac{4}{5}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-23±47}{30} þegar ± er mínus. Dragðu 47 frá -23.

$$x=-\frac{70}{30}$$

Minnka brotið \frac{-70}{30} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 10.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+23x-28=0$$

Leggðu 28 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$15x^{2}+23x-28-\left(-28\right)=-\left(-28\right)$$

Ef -28 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$15x^{2}+23x=-\left(-28\right)$$

Dragðu -28 frá 0.

$$15x^{2}+23x=28$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$\frac{15x^{2}+23x}{15}=\frac{28}{15}$$

Að deila með 15 afturkallar margföldun með 15.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x=\frac{28}{15}$$

Deildu \frac{23}{15}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{23}{30}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{23}{30} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{28}{15}+\left(\frac{23}{30}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{23}{30} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{28}{15}+\frac{529}{900}$$

Leggðu \frac{28}{15} saman við \frac{529}{900} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}=\frac{2209}{900}$$

Stuðull x^{2}+\frac{23}{15}x+\frac{529}{900}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}=\frac{2209}{900}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{900}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{23}{30}=\frac{47}{30} x+\frac{23}{30}=-\frac{47}{30}$$

Dragðu \frac{23}{30} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{7}{3}$$