Leysa {l}{x-y=4}{3x-y=7}

$$\left.\begin{array} { l } { x - y = 4 } \\ { 3 x - y = 7 } \end{array} \right\}$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=4$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+4$$

Settu y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=7.

$$3\left(y+4\right)-y=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum y+4.

$$3y+12-y=7$$

Leggðu 3y saman við -y.

$$2y+12=7$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Skiptu -\frac{5}{2} út fyrir y í x=y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}+4$$

Leggðu 4 saman við -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=4,3x-y=7$$

Dragðu 3x-y=7 frá x-y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-3x-y+y=4-7$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x-3x=4-7$$

Leggðu x saman við -3x.

$$-2x=4-7$$

Leggðu 4 saman við -7.

$$-2x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir x í 3x-y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\times \frac{3}{2}-y=7$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3}{2}.

$$\frac{9}{2}-y=7$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=\frac{5}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{5}{2}$$