Leysa {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+5y=4$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-5y+4$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Settu \frac{-5y+4}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Leggðu -\frac{5y}{3} saman við -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{14}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{3} sinnum -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Leggðu \frac{4}{3} saman við \frac{5}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Einfaldaðu.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Dragðu 3x-9y=18 frá 3x+5y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y+9y=4-18$$

Leggðu 5y saman við 9y.

$$14y=4-18$$

Leggðu 4 saman við -18.

$$14y=-14$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x-3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Margfaldaðu -3 sinnum -1.

$$x+3=6$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$