Leysa {l}{2x+y=40}{1x+3y=40}

$$\left.\begin{array} { l } { 2 x + y = 40 } \\ { 1 x + 3 y = 40 } \end{array} \right\}$$

Leystu fyrir x, y

$$x=16$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=40,x+3y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=40$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+40$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+40\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+40.

$$x=-\frac{1}{2}y+20$$

Settu -\frac{y}{2}+20 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=40.

$$-\frac{1}{2}y+20+3y=40$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við 3y.

$$\frac{5}{2}y+20=40$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=20$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 8+20$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 8.

$$x=-4+20$$

Leggðu 20 saman við -4.

$$x=16$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=16,y=8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=40,x+3y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-1}&-\frac{1}{2\times 3-1}\\-\frac{1}{2\times 3-1}&\frac{2}{2\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 40-\frac{1}{5}\times 40\\-\frac{1}{5}\times 40+\frac{2}{5}\times 40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=16,y=8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=40,x+3y=40$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+y=40,2x+2\times 3y=2\times 40$$

Einfaldaðu.

$$2x+y=40,2x+6y=80$$

Dragðu 2x+6y=80 frá 2x+y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+y-6y=40-80$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-6y=40-80$$

Leggðu y saman við -6y.

$$-5y=40-80$$

Leggðu 40 saman við -80.

$$-5y=-40$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x+3y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\times 8=40$$

Margfaldaðu 3 sinnum 8.

$$x+24=40$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=16$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=16,y=8$$