Leysa {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x+2y=-78$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=-2y-78$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -2y-78.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

Settu \frac{-y-39}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x-2y=-29.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{-y-39}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

Leggðu \frac{3y}{5} saman við -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

Dragðu \frac{117}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{262}{7}$$

Skiptu \frac{262}{7} út fyrir y í x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum \frac{262}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

Leggðu -\frac{39}{5} saman við -\frac{262}{35} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Til að gera 10x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

Einfaldaðu.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

Dragðu -30x-20y=-290 frá -30x-6y=234 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

Leggðu -30x saman við 30x. Liðirnir -30x og 30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y+20y=234+290$$

Leggðu -6y saman við 20y.

$$14y=234+290$$

Leggðu 234 saman við 290.

$$14y=524$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$y=\frac{262}{7}$$

Skiptu \frac{262}{7} út fyrir y í -3x-2y=-29. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{262}{7}.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

Leggðu \frac{524}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$