Leysa {l}{y=3x-13}{4x-3y=19}

$$\left. \begin{array}{l}{ y = 3 x - 13 }\\{ 4 x - 3 y = 19 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=4$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-13$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-3x=-13$$

Leggðu 3x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=3x-13$$

Settu 3x-13 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -3y+4x=19.

$$-3\left(3x-13\right)+4x=19$$

Margfaldaðu -3 sinnum 3x-13.

$$-9x+39+4x=19$$

Leggðu -9x saman við 4x.

$$-5x+39=19$$

Dragðu 39 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y=3x-13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=3\times 4-13$$

Margfaldaðu 3 sinnum 4.

$$y=12-13$$

Leggðu -13 saman við 12.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-13$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\left(-13\right)-\frac{3}{5}\times 19\\-\frac{3}{5}\left(-13\right)-\frac{1}{5}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-1,x=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-13$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-3x=-13,-3y+4x=19$$

Til að gera y og -3y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3y-3\left(-3\right)x=-3\left(-13\right),-3y+4x=19$$

Einfaldaðu.

$$-3y+9x=39,-3y+4x=19$$

Dragðu -3y+4x=19 frá -3y+9x=39 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3y+3y+9x-4x=39-19$$

Leggðu -3y saman við 3y. Liðirnir -3y og 3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9x-4x=39-19$$

Leggðu 9x saman við -4x.

$$5x=39-19$$

Leggðu 39 saman við -19.

$$5x=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í -3y+4x=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-3y+4\times 4=19$$

Margfaldaðu 4 sinnum 4.

$$-3y+16=19$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=3$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-1,x=4$$