Leysa {l}{x=2y-3}{2x+5y=30}

$$\left. \begin{array}{l}{ x = 2 y - 3 }\\{ 2 x + 5 y = 30 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-2y=-3$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=2y-3$$

Settu 2y-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+5y=30.

$$2\left(2y-3\right)+5y=30$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2y-3.

$$4y-6+5y=30$$

Leggðu 4y saman við 5y.

$$9y-6=30$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9y=36$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=2y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 4-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=8-3$$

Leggðu -3 saman við 8.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\left(-3\right)+\frac{2}{9}\times 30\\-\frac{2}{9}\left(-3\right)+\frac{1}{9}\times 30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$x-2y=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-2y=-3,2x+5y=30$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\left(-3\right),2x+5y=30$$

Einfaldaðu.

$$2x-4y=-6,2x+5y=30$$

Dragðu 2x+5y=30 frá 2x-4y=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x-4y-5y=-6-30$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-5y=-6-30$$

Leggðu -4y saman við -5y.

$$-9y=-6-30$$

Leggðu -6 saman við -30.

$$-9y=-36$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 2x+5y=30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+5\times 4=30$$

Margfaldaðu 5 sinnum 4.

$$2x+20=30$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=4$$