Leysa {l}{x+y=64}{-0.12x+0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ - 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{1645}{38} = 43\frac{11}{38} \approx 43.289473684$$

$$y = \frac{787}{38} = 20\frac{27}{38} \approx 20.710526316$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=64$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+64$$

Settu -y+64 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -0.12x+0.26y=0.19.

$$-0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

Margfaldaðu -0.12 sinnum -y+64.

$$0.12y-7.68+0.26y=0.19$$

Leggðu \frac{3y}{25} saman við \frac{13y}{50}.

$$0.38y-7.68=0.19$$

Leggðu 7.68 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.38y=7.87$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.38. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{787}{38}$$

Skiptu \frac{787}{38} út fyrir y í x=-y+64. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{787}{38}+64$$

Leggðu 64 saman við -\frac{787}{38}.

$$x=\frac{1645}{38}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-\left(-0.12\right)}&-\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\\-\frac{-0.12}{0.26-\left(-0.12\right)}&\frac{1}{0.26-\left(-0.12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{50}{19}\\\frac{6}{19}&\frac{50}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\times 64-\frac{50}{19}\times 0.19\\\frac{6}{19}\times 64+\frac{50}{19}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1645}{38}\\\frac{787}{38}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=64,-0.12x+0.26y=0.19$$

Til að gera x og -\frac{3x}{25} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -0.12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-0.12x-0.12y=-0.12\times 64,-0.12x+0.26y=0.19$$

Einfaldaðu.

$$-0.12x-0.12y=-7.68,-0.12x+0.26y=0.19$$

Dragðu -0.12x+0.26y=0.19 frá -0.12x-0.12y=-7.68 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-0.12x+0.12x-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

Leggðu -\frac{3x}{25} saman við \frac{3x}{25}. Liðirnir -\frac{3x}{25} og \frac{3x}{25} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-0.12y-0.26y=-7.68-0.19$$

Leggðu -\frac{3y}{25} saman við -\frac{13y}{50}.

$$-0.38y=-7.68-0.19$$

Leggðu -7.68 saman við -0.19 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$-0.38y=-7.87$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.38. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{787}{38}$$

Skiptu \frac{787}{38} út fyrir y í -0.12x+0.26y=0.19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-0.12x+0.26\times \frac{787}{38}=0.19$$

Margfaldaðu 0.26 sinnum \frac{787}{38} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$-0.12x+\frac{10231}{1900}=0.19$$

Dragðu \frac{10231}{1900} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.12x=-\frac{987}{190}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.12. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{1645}{38}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1645}{38},y=\frac{787}{38}$$