Leysa {l}{x+y=103}{x-2y=19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 103 }\\{ x - 2 y = 19 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=75$$

$$y=28$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=103,x-2y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=103$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+103$$

Settu -y+103 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=19.

$$-y+103-2y=19$$

Leggðu -y saman við -2y.

$$-3y+103=19$$

Dragðu 103 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-84$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=28$$

Skiptu 28 út fyrir y í x=-y+103. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-28+103$$

Leggðu 103 saman við -28.

$$x=75$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=75,y=28$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=103,x-2y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 103+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{3}\times 103-\frac{1}{3}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\28\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=75,y=28$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=103,x-2y=19$$

Dragðu x-2y=19 frá x+y=103 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y+2y=103-19$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+2y=103-19$$

Leggðu y saman við 2y.

$$3y=103-19$$

Leggðu 103 saman við -19.

$$3y=84$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=28$$

Skiptu 28 út fyrir y í x-2y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2\times 28=19$$

Margfaldaðu -2 sinnum 28.

$$x-56=19$$

Leggðu 56 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=75$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=75,y=28$$