Leysa {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Leggðu saman 3 og 1 til að fá 4.

$$x+2y=4+3y$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+2y-3y=4$$

Sameinaðu 2y og -3y til að fá -y.

$$x-y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Bættu 2y við báðar hliðar.

$$8-y+2y=2+3x$$

Sameinaðu -y og 2y til að fá y.

$$8+y=2+3x$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$8+y-3x=2$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum.

$$y-3x=2-8$$

Dragðu 8 frá 2 til að fá út -6.

$$y-3x=-6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=4$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+4$$

Settu y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Margfaldaðu -3 sinnum y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Leggðu -3y saman við y.

$$-2y-12=-6$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2y=6$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3+4$$

Leggðu 4 saman við -3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Leggðu saman 3 og 1 til að fá 4.

$$x+2y=4+3y$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+2y-3y=4$$

Sameinaðu 2y og -3y til að fá -y.

$$x-y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Bættu 2y við báðar hliðar.

$$8-y+2y=2+3x$$

Sameinaðu -y og 2y til að fá y.

$$8+y=2+3x$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$8+y-3x=2$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum.

$$y-3x=2-8$$

Dragðu 8 frá 2 til að fá út -6.

$$y-3x=-6$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Leggðu saman 3 og 1 til að fá 4.

$$x+2y=4+3y$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+2y-3y=4$$

Sameinaðu 2y og -3y til að fá -y.

$$x-y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 2 með 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Bættu 2y við báðar hliðar.

$$8-y+2y=2+3x$$

Sameinaðu -y og 2y til að fá y.

$$8+y=2+3x$$

Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$8+y-3x=2$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum.

$$y-3x=2-8$$

Dragðu 8 frá 2 til að fá út -6.

$$y-3x=-6$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Til að gera x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Einfaldaðu.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Dragðu -3x+y=-6 frá -3x+3y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-y=-12+6$$

Leggðu 3y saman við -y.

$$2y=-12+6$$

Leggðu -12 saman við 6.

$$2y=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í -3x+y=-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x-3=-6$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3x=-3$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-3$$