Leysa {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$m+n=-3$$

Dragðu n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$m=-n-3$$

Settu -n-3 inn fyrir m í hinni jöfnunni, -3m+2n=1.

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

Margfaldaðu -3 sinnum -n-3.

$$3n+9+2n=1$$

Leggðu 3n saman við 2n.

$$5n+9=1$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5n=-8$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Skiptu -\frac{8}{5} út fyrir n í m=-n-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{8}{5}.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

Leggðu -3 saman við \frac{8}{5}.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Til að gera m og -3m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

Einfaldaðu.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

Dragðu -3m+2n=1 frá -3m-3n=9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

Leggðu -3m saman við 3m. Liðirnir -3m og 3m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3n-2n=9-1$$

Leggðu -3n saman við -2n.

$$-5n=9-1$$

Leggðu 9 saman við -1.

$$-5n=8$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Skiptu -\frac{8}{5} út fyrir n í -3m+2n=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{8}{5}.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

Leggðu \frac{16}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$