Leysa {l}{9y-6=x}{2x-8y=18}

$$\left. \begin{array}{l}{ 9 y - 6 = x }\\{ 2 x - 8 y = 18 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=21$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$9y-6-x=0$$

Bættu 6 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$9y-x=6$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9y-x=6,-8y+2x=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$9y-x=6$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9y=x+6$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=\frac{1}{9}\left(x+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum x+6.

$$y=\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{x}{9}+\frac{2}{3} inn fyrir y í hinni jöfnunni, -8y+2x=18.

$$-8\left(\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}\right)+2x=18$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{x}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{16}{3}+2x=18$$

Leggðu -\frac{8x}{9} saman við 2x.

$$\frac{10}{9}x-\frac{16}{3}=18$$

Leggðu \frac{16}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{10}{9}x=\frac{70}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{10}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=21$$

Skiptu 21 út fyrir x í y=\frac{1}{9}x+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=\frac{1}{9}\times 21+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum 21.

$$y=\frac{7+2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{7}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=3,x=21$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$9y-6-x=0$$

Bættu 6 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$9y-x=6$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9y-x=6,-8y+2x=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&\frac{9}{9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&\frac{9}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{10}\times 18\\\frac{4}{5}\times 6+\frac{9}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=3,x=21$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$9y-6-x=0$$

Bættu 6 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$9y-x=6$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9y-x=6,-8y+2x=18$$

Til að gera 9y og -8y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$-8\times 9y-8\left(-1\right)x=-8\times 6,9\left(-8\right)y+9\times 2x=9\times 18$$

Einfaldaðu.

$$-72y+8x=-48,-72y+18x=162$$

Dragðu -72y+18x=162 frá -72y+8x=-48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-72y+72y+8x-18x=-48-162$$

Leggðu -72y saman við 72y. Liðirnir -72y og 72y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8x-18x=-48-162$$

Leggðu 8x saman við -18x.

$$-10x=-48-162$$

Leggðu -48 saman við -162.

$$-10x=-210$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=21$$

Skiptu 21 út fyrir x í -8y+2x=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-8y+2\times 21=18$$

Margfaldaðu 2 sinnum 21.

$$-8y+42=18$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8y=-24$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=3,x=21$$