Leysa {l}{8x+6y=3}{6x-4y=5}

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x + 6 y = 3 }\\{ 6 x - 4 y = 5 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{21}{34}\approx 0.617647059$$

$$y=-\frac{11}{34}\approx -0.323529412$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+6y=3,6x-4y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+6y=3$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-6y+3$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -6y+3.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{8}$$

Settu -\frac{3y}{4}+\frac{3}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-4y=5.

$$6\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{8}\right)-4y=5$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{3y}{4}+\frac{3}{8}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{9}{4}-4y=5$$

Leggðu -\frac{9y}{2} saman við -4y.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{9}{4}=5$$

Dragðu \frac{9}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{17}{2}y=\frac{11}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{11}{34}$$

Skiptu -\frac{11}{34} út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{11}{34}\right)+\frac{3}{8}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum -\frac{11}{34} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{33}{136}+\frac{3}{8}$$

Leggðu \frac{3}{8} saman við \frac{33}{136} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{21}{34}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{34},y=-\frac{11}{34}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+6y=3,6x-4y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&6\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-6\times 6}&-\frac{6}{8\left(-4\right)-6\times 6}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-6\times 6}&\frac{8}{8\left(-4\right)-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{3}{34}\\\frac{3}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 3+\frac{3}{34}\times 5\\\frac{3}{34}\times 3-\frac{2}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{34}\\-\frac{11}{34}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{21}{34},y=-\frac{11}{34}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+6y=3,6x-4y=5$$

Til að gera 8x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$6\times 8x+6\times 6y=6\times 3,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 5$$

Einfaldaðu.

$$48x+36y=18,48x-32y=40$$

Dragðu 48x-32y=40 frá 48x+36y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$48x-48x+36y+32y=18-40$$

Leggðu 48x saman við -48x. Liðirnir 48x og -48x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36y+32y=18-40$$

Leggðu 36y saman við 32y.

$$68y=18-40$$

Leggðu 18 saman við -40.

$$68y=-22$$

Deildu báðum hliðum með 68.

$$y=-\frac{11}{34}$$

Skiptu -\frac{11}{34} út fyrir y í 6x-4y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-4\left(-\frac{11}{34}\right)=5$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{11}{34}.

$$6x+\frac{22}{17}=5$$

Dragðu \frac{22}{17} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=\frac{63}{17}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{21}{34}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{21}{34},y=-\frac{11}{34}$$