Leysa {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-4y=-7$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=4y-7$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Settu \frac{4y-7}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Margfaldaðu -6 sinnum \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Leggðu -\frac{24y}{5} saman við 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Dragðu \frac{42}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{16}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Margfaldaðu \frac{4}{5} sinnum -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Leggðu -\frac{7}{5} saman við -\frac{8}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Til að gera 5x og -6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Einfaldaðu.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Dragðu -30x+40y=10 frá -30x+24y=42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Leggðu -30x saman við 30x. Liðirnir -30x og 30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$24y-40y=42-10$$

Leggðu 24y saman við -40y.

$$-16y=42-10$$

Leggðu 42 saman við -10.

$$-16y=32$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -6x+8y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Margfaldaðu 8 sinnum -2.

$$-6x-16=2$$

Leggðu 16 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-6x=18$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-2$$