Leysa {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x-y=4$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=y+4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Settu \frac{y}{2}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{y}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

Leggðu -\frac{y}{2} saman við y.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{2}y=5$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 10.

$$x=5+2$$

Leggðu 2 saman við 5.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=10$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=10$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu x frá báðum hliðum.

$$y-x=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Til að gera 2x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

Dragðu -2x+2y=6 frá -2x+y=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-2y=-4-6$$

Leggðu y saman við -2y.

$$-y=-4-6$$

Leggðu -4 saman við -6.

$$-y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í -x+y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+10=3$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-7$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=10$$