Leysa {l}{18.-4x-12y=-28}{2x-4y=4}

$$\left. \begin{array}{l}{ 18 . - 4 x - 12 y = - 28 }\\{ 2 x - 4 y = 4 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{29}{5} = 5\frac{4}{5} = 5.8$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-4x-12y+18=-28,2x-4y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-4x-12y+18=-28$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x-12y=-46$$

Leggðu 12y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x=12y-46$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(12y-46\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum 12y-46.

$$x=-3y+\frac{23}{2}$$

Settu -3y+\frac{23}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-4y=4.

$$2\left(-3y+\frac{23}{2}\right)-4y=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3y+\frac{23}{2}.

$$-6y+23-4y=4$$

Leggðu -6y saman við -4y.

$$-10y+23=4$$

Dragðu 23 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=-19$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=\frac{19}{10}$$

Skiptu \frac{19}{10} út fyrir y í x=-3y+\frac{23}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\times \frac{19}{10}+\frac{23}{2}$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{19}{10}.

$$x=-\frac{57}{10}+\frac{23}{2}$$

Leggðu \frac{23}{2} saman við -\frac{57}{10} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{29}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{29}{5},y=\frac{19}{10}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-4x-12y+18=-28,2x-4y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-4&-12\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-4&-12\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-12\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-12\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-12\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-12\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-12\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4\left(-4\right)-\left(-12\times 2\right)}&-\frac{-12}{-4\left(-4\right)-\left(-12\times 2\right)}\\-\frac{2}{-4\left(-4\right)-\left(-12\times 2\right)}&-\frac{4}{-4\left(-4\right)-\left(-12\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\-\frac{1}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\left(-46\right)+\frac{3}{10}\times 4\\-\frac{1}{20}\left(-46\right)-\frac{1}{10}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{29}{5},y=\frac{19}{10}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-4x-12y+18=-28,2x-4y=4$$

Til að gera -4x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -4.

$$2\left(-4\right)x+2\left(-12\right)y+2\times 18=2\left(-28\right),-4\times 2x-4\left(-4\right)y=-4\times 4$$

Einfaldaðu.

$$-8x-24y+36=-56,-8x+16y=-16$$

Dragðu -8x+16y=-16 frá -8x-24y+36=-56 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x-24y-16y+36=-56+16$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-24y-16y+36=-56+16$$

Leggðu -24y saman við -16y.

$$-40y+36=-56+16$$

Leggðu -56 saman við 16.

$$-40y+36=-40$$

Dragðu 36 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-40y=-76$$

Deildu báðum hliðum með -40.

$$y=\frac{19}{10}$$

Skiptu \frac{19}{10} út fyrir y í 2x-4y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-4\times \frac{19}{10}=4$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{19}{10}.

$$2x-\frac{38}{5}=4$$

Leggðu \frac{38}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{58}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{29}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{29}{5},y=\frac{19}{10}$$