Leysa {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$12x-4y=-4$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12x=4y-4$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{12} sinnum -4+4y.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-1+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+8y=17.

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-1+y}{3}.

$$y-1+8y=17$$

Leggðu y saman við 8y.

$$9y-1=17$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9y=18$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við \frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Til að gera 12x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 12.

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

Einfaldaðu.

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

Dragðu 36x+96y=204 frá 36x-12y=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

Leggðu 36x saman við -36x. Liðirnir 36x og -36x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-96y=-12-204$$

Leggðu -12y saman við -96y.

$$-108y=-12-204$$

Leggðu -12 saman við -204.

$$-108y=-216$$

Deildu báðum hliðum með -108.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 3x+8y=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+8\times 2=17$$

Margfaldaðu 8 sinnum 2.

$$3x+16=17$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$