Leysa {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-5x+y=-11$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=-y-11$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

Settu \frac{11+y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

Leggðu \frac{4y}{5} saman við -6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

Dragðu \frac{44}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{26}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

Leggðu \frac{11}{5} saman við -\frac{1}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Til að gera -5x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -5.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

Einfaldaðu.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

Dragðu -20x+30y=-70 frá -20x+4y=-44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

Leggðu -20x saman við 20x. Liðirnir -20x og 20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-30y=-44+70$$

Leggðu 4y saman við -30y.

$$-26y=-44+70$$

Leggðu -44 saman við 70.

$$-26y=26$$

Deildu báðum hliðum með -26.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 4x-6y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

Margfaldaðu -6 sinnum -1.

$$4x+6=14$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-1$$