Leysa {l}{-2x-3y=7}{-13x+20y=322}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 2 x - 3 y = 7 }\\{ - 13 x + 20 y = 322 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-14$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x-3y=7$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=3y+7$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(3y+7\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}$$

Settu \frac{-3y-7}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -13x+20y=322.

$$-13\left(-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}\right)+20y=322$$

Margfaldaðu -13 sinnum \frac{-3y-7}{2}.

$$\frac{39}{2}y+\frac{91}{2}+20y=322$$

Leggðu \frac{39y}{2} saman við 20y.

$$\frac{79}{2}y+\frac{91}{2}=322$$

Dragðu \frac{91}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{79}{2}y=\frac{553}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{79}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y-\frac{7}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 7-\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 7.

$$x=\frac{-21-7}{2}$$

Leggðu -\frac{7}{2} saman við -\frac{21}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-14,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\-13&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{-3}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\\-\frac{-13}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}&-\frac{2}{-2\times 20-\left(-3\left(-13\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}&-\frac{3}{79}\\-\frac{13}{79}&\frac{2}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\322\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{79}\times 7-\frac{3}{79}\times 322\\-\frac{13}{79}\times 7+\frac{2}{79}\times 322\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-14,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x-3y=7,-13x+20y=322$$

Til að gera -2x og -13x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -13 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-13\left(-2\right)x-13\left(-3\right)y=-13\times 7,-2\left(-13\right)x-2\times 20y=-2\times 322$$

Einfaldaðu.

$$26x+39y=-91,26x-40y=-644$$

Dragðu 26x-40y=-644 frá 26x+39y=-91 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$26x-26x+39y+40y=-91+644$$

Leggðu 26x saman við -26x. Liðirnir 26x og -26x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$39y+40y=-91+644$$

Leggðu 39y saman við 40y.

$$79y=-91+644$$

Leggðu -91 saman við 644.

$$79y=553$$

Deildu báðum hliðum með 79.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í -13x+20y=322. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-13x+20\times 7=322$$

Margfaldaðu 20 sinnum 7.

$$-13x+140=322$$

Dragðu 140 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-13x=182$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$x=-14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-14,y=7$$