Leysa {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn -1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3\left(y+1\right), minnsta sameiginlega margfeldi y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+1.

$$3x+3=y+1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x+3-y=1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$3x-y=1-3$$

Dragðu 3 frá 1 til að fá út -2.

$$3x-y=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4\left(y-1\right), minnsta sameiginlega margfeldi y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með x-1.

$$4x-4=y-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$4x-4-y=-1$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$4x-y=-1+4$$

Leggðu saman -1 og 4 til að fá 3.

$$4x-y=3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y=-2$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y-2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Settu \frac{-2+y}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Leggðu \frac{4y}{3} saman við -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Leggðu \frac{8}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$y=17$$

Skiptu 17 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Leggðu -\frac{2}{3} saman við \frac{17}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=17$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn -1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3\left(y+1\right), minnsta sameiginlega margfeldi y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+1.

$$3x+3=y+1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x+3-y=1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$3x-y=1-3$$

Dragðu 3 frá 1 til að fá út -2.

$$3x-y=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4\left(y-1\right), minnsta sameiginlega margfeldi y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með x-1.

$$4x-4=y-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$4x-4-y=-1$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$4x-y=-1+4$$

Leggðu saman -1 og 4 til að fá 3.

$$4x-y=3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=17$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn -1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3\left(y+1\right), minnsta sameiginlega margfeldi y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 3 með x+1.

$$3x+3=y+1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$3x+3-y=1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum.

$$3x-y=1-3$$

Dragðu 3 frá 1 til að fá út -2.

$$3x-y=-2$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Breytan y getur ekki verið jöfn 1, þar sem deiling með núlli hefur ekki verið skilgreind. Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 4\left(y-1\right), minnsta sameiginlega margfeldi y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 4 með x-1.

$$4x-4=y-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum.

$$4x-4-y=-1$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$4x-y=-1+4$$

Leggðu saman -1 og 4 til að fá 3.

$$4x-y=3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Dragðu 4x-y=3 frá 3x-y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3x-4x=-2-3$$

Leggðu 3x saman við -4x.

$$-x=-2-3$$

Leggðu -2 saman við -3.

$$-x=-5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=5$$

Skiptu 5 út fyrir x í 4x-y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4\times 5-y=3$$

Margfaldaðu 4 sinnum 5.

$$20-y=3$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-17$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=17$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=17$$