Leysa {r}{x+y=270}{0.08x+0.13y=32.-1}

$$\left. \begin{array} { r } { x + y = 270 } \\ { 0.08 x + 0.13 y = 32 . - 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=62$$

$$y=208$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=270$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+270$$

Settu -y+270 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.08x+0.13y=32.

$$0.08\left(-y+270\right)+0.13y=32$$

Margfaldaðu 0.08 sinnum -y+270.

$$-0.08y+21.6+0.13y=32$$

Leggðu -\frac{2y}{25} saman við \frac{13y}{100}.

$$0.05y+21.6=32$$

Dragðu 21.6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.05y=10.4$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 20.

$$y=208$$

Skiptu 208 út fyrir y í x=-y+270. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-208+270$$

Leggðu 270 saman við -208.

$$x=62$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=62,y=208$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.13}{0.13-0.08}&-\frac{1}{0.13-0.08}\\-\frac{0.08}{0.13-0.08}&\frac{1}{0.13-0.08}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6&-20\\-1.6&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6\times 270-20\times 32\\-1.6\times 270+20\times 32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\208\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=62,y=208$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

Til að gera x og \frac{2x}{25} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.08 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.08x+0.08y=0.08\times 270,0.08x+0.13y=32$$

Einfaldaðu.

$$0.08x+0.08y=21.6,0.08x+0.13y=32$$

Dragðu 0.08x+0.13y=32 frá 0.08x+0.08y=21.6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.08x-0.08x+0.08y-0.13y=21.6-32$$

Leggðu \frac{2x}{25} saman við -\frac{2x}{25}. Liðirnir \frac{2x}{25} og -\frac{2x}{25} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.08y-0.13y=21.6-32$$

Leggðu \frac{2y}{25} saman við -\frac{13y}{100}.

$$-0.05y=21.6-32$$

Leggðu 21.6 saman við -32.

$$-0.05y=-10.4$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -20.

$$y=208$$

Skiptu 208 út fyrir y í 0.08x+0.13y=32. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.08x+0.13\times 208=32$$

Margfaldaðu 0.13 sinnum 208.

$$0.08x+27.04=32$$

Dragðu 27.04 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.08x=4.96$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.08. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=62$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=62,y=208$$