Leysa {r}{x+4y=40}{-x+8y=68}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 40 } \\ { - x + 8 y = 68 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+4y=40$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-4y+40$$

Settu -4y+40 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+8y=68.

$$-\left(-4y+40\right)+8y=68$$

Margfaldaðu -1 sinnum -4y+40.

$$4y-40+8y=68$$

Leggðu 4y saman við 8y.

$$12y-40=68$$

Leggðu 40 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12y=108$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=-4y+40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\times 9+40$$

Margfaldaðu -4 sinnum 9.

$$x=-36+40$$

Leggðu 40 saman við -36.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{8-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{8-4\left(-1\right)}&\frac{1}{8-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 40-\frac{1}{3}\times 68\\\frac{1}{12}\times 40+\frac{1}{12}\times 68\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Til að gera x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-x-4y=-40,-x+8y=68$$

Dragðu -x+8y=68 frá -x-4y=-40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x-4y-8y=-40-68$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-8y=-40-68$$

Leggðu -4y saman við -8y.

$$-12y=-40-68$$

Leggðu -40 saman við -68.

$$-12y=-108$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í -x+8y=68. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+8\times 9=68$$

Margfaldaðu 8 sinnum 9.

$$-x+72=68$$

Dragðu 72 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=9$$