Leysa {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+4y=25$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-4y+25$$

Settu -4y+25 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+3y=52.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

Margfaldaðu -4 sinnum -4y+25.

$$16y-100+3y=52$$

Leggðu 16y saman við 3y.

$$19y-100=52$$

Leggðu 100 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$19y=152$$

Deildu báðum hliðum með 19.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=-4y+25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\times 8+25$$

Margfaldaðu -4 sinnum 8.

$$x=-32+25$$

Leggðu 25 saman við -32.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-7,y=8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Til að gera x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

Einfaldaðu.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

Dragðu -4x+3y=52 frá -4x-16y=-100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-16y-3y=-100-52$$

Leggðu -16y saman við -3y.

$$-19y=-100-52$$

Leggðu -100 saman við -52.

$$-19y=-152$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í -4x+3y=52. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+3\times 8=52$$

Margfaldaðu 3 sinnum 8.

$$-4x+24=52$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=28$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=8$$