Leysa {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-5$$

$$b=25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a+b=20$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-b+20$$

Settu -b+20 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 6a+2b=20.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

Margfaldaðu 6 sinnum -b+20.

$$-6b+120+2b=20$$

Leggðu -6b saman við 2b.

$$-4b+120=20$$

Dragðu 120 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4b=-100$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$b=25$$

Skiptu 25 út fyrir b í a=-b+20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-25+20$$

Leggðu 20 saman við -25.

$$a=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-5,b=25$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-5,b=25$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Til að gera a og 6a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

Einfaldaðu.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

Dragðu 6a+2b=20 frá 6a+6b=120 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

Leggðu 6a saman við -6a. Liðirnir 6a og -6a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6b-2b=120-20$$

Leggðu 6b saman við -2b.

$$4b=120-20$$

Leggðu 120 saman við -20.

$$4b=100$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$b=25$$

Skiptu 25 út fyrir b í 6a+2b=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$6a+2\times 25=20$$

Margfaldaðu 2 sinnum 25.

$$6a+50=20$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6a=-30$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$a=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-5,b=25$$