Leysa {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+y=21$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-y+21$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Settu \frac{-y+21}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

Margfaldaðu 24 sinnum \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

Leggðu -3y saman við -5y.

$$-8y+63=23$$

Dragðu 63 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8y=-40$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Leggðu \frac{21}{8} saman við -\frac{5}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Til að gera 8x og 24x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 24 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Einfaldaðu.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Dragðu 192x-40y=184 frá 192x+24y=504 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

Leggðu 192x saman við -192x. Liðirnir 192x og -192x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$24y+40y=504-184$$

Leggðu 24y saman við 40y.

$$64y=504-184$$

Leggðu 504 saman við -184.

$$64y=320$$

Deildu báðum hliðum með 64.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 24x-5y=23. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$24x-5\times 5=23$$

Margfaldaðu -5 sinnum 5.

$$24x-25=23$$

Leggðu 25 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$24x=48$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=5$$