Leysa {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+2y=24$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-2y+24$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Settu \frac{-2y+24}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

Leggðu \frac{16y}{7} saman við 2y.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

Leggðu \frac{192}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{30}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Skiptu -\frac{3}{5} út fyrir y í x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{7} sinnum -\frac{3}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

Leggðu \frac{24}{7} saman við \frac{6}{35} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{18}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Dragðu -8x+2y=-30 frá 7x+2y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7x+8x=24+30$$

Leggðu 7x saman við 8x.

$$15x=24+30$$

Leggðu 24 saman við 30.

$$15x=54$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$x=\frac{18}{5}$$

Skiptu \frac{18}{5} út fyrir x í -8x+2y=-30. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

Leggðu \frac{144}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$