Leysa {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+8y=k$$

Dragðu 8y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-8y+k$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

Settu -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

Leggðu -\frac{4y}{3} saman við y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

Dragðu \frac{k}{6} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -3.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Skiptu -3+\frac{k}{2} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum -3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

Leggðu \frac{k}{6} saman við 4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Til að gera 6x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

Dragðu 6x+6y=6 frá 6x+8y=k með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-6y=k-6$$

Leggðu 8y saman við -6y.

$$2y=k-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Skiptu \frac{k}{2}-3 út fyrir y í x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

Dragðu -3+\frac{k}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$