Leysa {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$5y+x=44$$

Dragðu x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-x+44$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

Settu \frac{-x+44}{5} inn fyrir y í hinni jöfnunni, y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

Leggðu -\frac{x}{5} saman við -x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

Dragðu \frac{44}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{6}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum 4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

Leggðu \frac{44}{5} saman við -\frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=8,x=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=8,x=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Til að gera 5y og y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

Einfaldaðu.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

Dragðu 5y-5x=20 frá 5y+x=44 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

Leggðu 5y saman við -5y. Liðirnir 5y og -5y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+5x=44-20$$

Leggðu x saman við 5x.

$$6x=44-20$$

Leggðu 44 saman við -20.

$$6x=24$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=4$$

Skiptu 4 út fyrir x í y-x=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y-4=4$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=8,x=4$$