Leysa {r}{5x-3y=17}{-2x+5y=-22}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x - 3 y = 17 } \\ { - 2 x + 5 y = - 22 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y=17$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+17$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+17\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3y+17.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}$$

Settu \frac{3y+17}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+5y=-22.

$$-2\left(\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}\right)+5y=-22$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{3y+17}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{34}{5}+5y=-22$$

Leggðu -\frac{6y}{5} saman við 5y.

$$\frac{19}{5}y-\frac{34}{5}=-22$$

Leggðu \frac{34}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{76}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{17}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{17}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -4.

$$x=\frac{-12+17}{5}$$

Leggðu \frac{17}{5} saman við -\frac{12}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 17+\frac{3}{19}\left(-22\right)\\\frac{2}{19}\times 17+\frac{5}{19}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y=17,-2x+5y=-22$$

Til að gera 5x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-2\times 5x-2\left(-3\right)y=-2\times 17,5\left(-2\right)x+5\times 5y=5\left(-22\right)$$

Einfaldaðu.

$$-10x+6y=-34,-10x+25y=-110$$

Dragðu -10x+25y=-110 frá -10x+6y=-34 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-10x+10x+6y-25y=-34+110$$

Leggðu -10x saman við 10x. Liðirnir -10x og 10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-25y=-34+110$$

Leggðu 6y saman við -25y.

$$-19y=-34+110$$

Leggðu -34 saman við 110.

$$-19y=76$$

Deildu báðum hliðum með -19.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í -2x+5y=-22. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+5\left(-4\right)=-22$$

Margfaldaðu 5 sinnum -4.

$$-2x-20=-22$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=-2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-4$$