Leysa {r}{5a-5b=5}{a+b=3}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 a - 5 b = 5 } \\ { a + b = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5a-5b=5,a+b=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$5a-5b=5$$

Leggðu 5b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5a=5b+5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(5b+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 5+5b.

$$a=b+1$$

Settu b+1 inn fyrir a í hinni jöfnunni, a+b=3.

$$b+1+b=3$$

Leggðu b saman við b.

$$2b+1=3$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2b=2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$b=1$$

Skiptu 1 út fyrir b í a=b+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=1+1$$

Leggðu 1 saman við 1.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5a-5b=5,a+b=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{5-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-5\right)}&\frac{5}{5-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{10}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=2,b=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5a-5b=5,a+b=3$$

Til að gera 5a og a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$5a-5b=5,5a+5b=5\times 3$$

Einfaldaðu.

$$5a-5b=5,5a+5b=15$$

Dragðu 5a+5b=15 frá 5a-5b=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5a-5a-5b-5b=5-15$$

Leggðu 5a saman við -5a. Liðirnir 5a og -5a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-5b-5b=5-15$$

Leggðu -5b saman við -5b.

$$-10b=5-15$$

Leggðu 5 saman við -15.

$$-10b=-10$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$b=1$$

Skiptu 1 út fyrir b í a+b=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a+1=3$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=1$$