Leysa {r}{4x-y=1}{3x+y=9}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-y=1$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=y+1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

Settu \frac{1+y}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+y=9.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{1+y}{4}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

Leggðu \frac{3y}{4} saman við y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

Dragðu \frac{3}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{33}{7}$$

Skiptu \frac{33}{7} út fyrir y í x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum \frac{33}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við \frac{33}{28} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{10}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Til að gera 4x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

Einfaldaðu.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

Dragðu 12x+4y=36 frá 12x-3y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-4y=3-36$$

Leggðu -3y saman við -4y.

$$-7y=3-36$$

Leggðu 3 saman við -36.

$$-7y=-33$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{33}{7}$$

Skiptu \frac{33}{7} út fyrir y í 3x+y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

Dragðu \frac{33}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{30}{7}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{10}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$