Leysa {r}{4x+3y=15}{x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 15 } \\ { x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x+3y=15$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-3y+15$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -3y+15.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}$$

Settu \frac{-3y+15}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=12.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}-2y=12$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við -2y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{15}{4}=12$$

Dragðu \frac{15}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{33}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{11}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{15}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum -3.

$$x=\frac{9+15}{4}$$

Leggðu \frac{15}{4} saman við \frac{9}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 15+\frac{3}{11}\times 12\\\frac{1}{11}\times 15-\frac{4}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x+3y=15,x-2y=12$$

Til að gera 4x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$4x+3y=15,4x+4\left(-2\right)y=4\times 12$$

Einfaldaðu.

$$4x+3y=15,4x-8y=48$$

Dragðu 4x-8y=48 frá 4x+3y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+3y+8y=15-48$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+8y=15-48$$

Leggðu 3y saman við 8y.

$$11y=15-48$$

Leggðu 15 saman við -48.

$$11y=-33$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x-2y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2\left(-3\right)=12$$

Margfaldaðu -2 sinnum -3.

$$x+6=12$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-3$$